La moyenne

On peut calculer un moyenne pour deux cas de figure :

1 - Calcul de la moyenne arithmétique de 8 élèves à une épreuve d'Etude de Cas

Etudes de Cas

14 ,6 ,12 ,10 ,11, 12 ,9 14,5 Somme des notes : 88,5

Ces 8 élèves totalisent 88,5 points; leur moyenne individuelle est donc de : 88,5 / 8 = 11,06

2 - Calcul d'une moyenne arithmétique pondérée

Deux classes de 30 élèves (60 élèves au total !) passent un test de connaissance de Culture Générale, les notes se répartissent ainsi :

 

 

Nombre d'élèves

ni

Note obtenue

xi

ni x xi

15

8

8 x 15 = 120

10

10

10 x 10 = 100

4

11

4 x 11 = 44

22

14

22 x 14 = 308

9

16

9 x 16 = 144

60

 

Total : 716

Les 60 élèves dégagent un total de points de 716 au test de Culture Générale soit individuellement en moyenne :

716 / 60 = 11,93

 

L'écart - type

 

 

Que ce soit dans le premier cas ou dans le second on doit s'interroger sur la validité de la valeur de la moyenne. Que signifie cette moyenne ? Tous les élèves sont -ils proches de cette moyenne ?

Pour répondre à cette question, on va calculer l'écart - type qui permet de mesurer l'éparpillement des élèves autour de la moyenne.

Plus l'écart - type est grand, plus les variations de notes sont fortes et moins la moyenne a de sens.

Que dire, par exemple d'une classe de 30 élèves où la moyenne à un test est de 10/20 mais où 10 élèves obtiennent la note de 0, 10 élèves obtiennent la note de 10/20 et enfin 10 élèves obtiennent 20/20. La moyenne de cette classe est bien de 10 (10 x 0 + 10 x 10 + 10 x 20) / 30 mais puis - je dire que la moyenne de 10 est représentative de ma classe ?

Calcul de l'écart - type dans le cas 1

Etudes de Cas

Carré des notes

14

14 x 14 = 196

6

6 x 6 = 36

12

144

10

100

11

121

12

144

9

81

14,5

210,25

Somme des notes : 88,5

Somme des carrés : 1 032,25

L'écart - type s'obtient comme suit :

Variance = (Somme des carrés / Nombre de notes) - Carré de la moyenne

= (1032,25 / 8) - 122,32 = 6,71

Ecart - type = racine carré de V = 2,59

Cela signifie que les notes sont assez éparpillées autour de la moyenne de 11,06, l'écart-type est ici assez important pour des notes sur 20.

Calcul de l'écart - type dans le cas 2

 

Nombre d'élèves

ni

Note obtenue

xi

ni x xi

ni x xi2

15

8

8 x 15 = 120

15 x 64 = 960

10

10

10 x 10 = 100

10 x 100 = 1 000

4

11

4 x 11 = 44

4 x 121 = 484

22

14

22 x 14 = 308

22 x 196 = 4 315

9

16

9 x 16 = 144

9 x 256 = 2 304

60

 

Total : 716

Total : 9 063

on peut alors calculer l'écart-type :

V = (Somme des nixi2 / Nombre d'élèves) - Carré de la moyenne

= (9063 / 60) - 142,32 = 8,73

L'écart - type est donc de 2,95

LA MOYENNE D'UNE SERIE CONTINUE

Au contraire d'une série statistique aux variables discrètes, une série continue se présente sous la forme de classes (classes d'âges, classes de salaires...).

Série discrète

On mesure les prix dans une cinquantaine d'hypermarchés pour un produit donné; le relevé de prix donne les résultats suivants

Nombre d'hypermarchés ni

Prix relevés TTC

xi

ni x xi

ni x xi²

4

20

80

1600

14

22

308

6776

25

25

625

15625

7

26,5

185,5

4915,75

50

 

1198,5

28916,75

Dans ce cas de figure la moyenne s'écrit :

(4 x 20 + 14 x 22 + 25 x 25 + 7 x 26,5) / 50 = 1198,5 / 50 = 23,97 francs

et l'écart - type s'élève à Racine carré de (28916,75 / 50) - (23,97)² = 1,94

Série continue

Une entreprise de 300 salariés vous donne la répartition des salaires versés comme suit

Tranches de salaires versés

Nombre de salariés

ni

Centre des classes

xi

ni x xi

ni x xi²

[0; 5000[

25

2 500

62 500

156 250 000

[5000; 10 000[

150

7 500

1 125 000

8 437 500 000

[10 000; 15 000[

50

12 500

625 000

7 812 500 000

[15 000; 20 000[

75

17 500

1 312 500

22 968 750 000

 

300

 

3 125 000

39 375 000 000

La moyenne des salaires versés par cette entreprise est de (3 125 000 / 300) = 10 416 francs

avec un écart type de Racine carré de (39 375 000 000 / 300) - (10416)² = 4 769

ATTENTION !!!

Les classes doivent être d'amplitude égale ( ici 5000 francs) pour calculer le centre de la classe (borne supérieure + borne inférieure / 2).

 

 

METHODE D' AJUSTEMENT LINEAIRE

L'objectif est de rechercher une droite ajustant au mieux la série statistique proposée.

Cette méthode mécanique implique que l'univers est stable et que ce qui s'est déroulé par le passé se passera à nouveau dans le futur.

 

La série est la suivante :

Année

Visiteurs

x

y

X

Y

X2

XY

Y2

1992

224 000

1

224

-2,5

-11

6,25

27,5

121

1993

232 000

2

232

-1,5

-3

2,25

4,5

9

1994

237 000

3

237

-0,5

2

0,25

-1

4

1995

244 000

4

244

0,5

9

0,25

4,5

81

1996

243 000

5

243

1,5

8

2,25

12

64

1997

230 000

6

230

2,5

-5

6,25

-12,5

25

TOTAL

1 410 000

21

1410

   

17,5

35

304

Etape 1 : Calcul de la moyenne des x (années) : 21 / 6 = 3,5

Calcul de la moyenne des y (visiteurs) : 1410 / 6 = 235Etape 2 : Détermination des X et Y avec X = x - 3,5 et Y = y - 235

: Détermination des X et Y avec X = x - 3,5 et Y = y - 235

Etape 3 : Calcul de la somme des X2 et des XY ici;

: Calcul de la somme des X2 et des XY ici;

Somme des X2 = 17,5 et Somme des XY = 35Etape 4 : On cherche a et b, tels que y = ax + b avec ;

: On cherche a et b, tels que y = ax + b avec ;

a = Somme des XY / Somme des X2 = 2

et b = moyenne des y - (a x moyenne des x) = 235 - (2 x 3,5)

b = 228

Ainsi y = 2x + 228; pour x = 7 (année 1998) ; y = (2 x 7) + 228 = 242 milliers de visiteurs.E

LE TAUX DE MARQUE

Le taux de marque correspond à la rémunération du distributeur et exprime le rapport entre la marge brute et le prix de vente. (Hors taxes) La marge brute exprime la différence entre le prix de vente et le prix d'achat du produit. Le distributeur utilise la marge brute à partir de son prix d'achat de la manière suivante :

J'ai acheté un bien 30 F ( Hors taxes ), je souhaite obtenir une marge sur prix de vente de 40% (taux de marque de 40%) sur ce bien, alors je dois le vendre :

PV = PA + 0,4 PV donc :

PV - 0,4 PV = PA d'où

PV ( 1 - 0,4 ) = PA ainsi

PV = PA / ( 1 - t ) = 30 / ( 1 - 0,4 ) = 50 Francs.

= 30 / ( 1 - 0,4 ) = 50 Francs.


LE COEFFICIENT MULTIPLICATEUR

Pour simplifier la tâche, de nombreux distributeurs ont pris l'habitude de calculer le prix de vente à partir de leur prix d'achat, en lui appliquant un coefficient multiplicateur. On a vu que PV = PA x 1 / ( 1 - t ) donc, ce coefficient multiplicateur est de :

CM = 1 / (1 - t )

Par exemple, avec un taux de marque de 40% pour un prix d'achat H.T. de 30 Francs;

CM = 1 / 0,6 = 1,67;

on vérifie que : 1,67 x 30 = 50 Francs.


DISPONIBILITE NUMERIQUE ET DISPONIBILITE VALEUR

La bonne implantation de l'entreprise sur un canal de distribution se mesure en fonction d'au moins deux indicateurs. La disponibilité numérique mesure la pénétration de l'entreprise dans le canal de distribution. La disponibilité numérique DN de 75% signifie que 75% des GMS proposent la marque. Trois magasins sur quatre distribuent la marque.

Deuxième indicateur, la disponibilité valeur mesure la force commerciale des magasins qui distribuent la marque. Ainsi, une DV de 65% indique que les GMS qui proposent la marque vendent 65% de tous les jeans vendus en GMS.

De cette manière, on s'aperçoit qu'il vaut mieux que la DV soit supérieure à la DN.

PART DE VOIX ET INDICE D'EFFICACITE PUBLICITAIRE.

( J. PECKMAN) a pour objectif de comparer les investissements publicitaires engagés par une entreprise avec les investissements publicitaires de toutes les entreprises de son secteur d'activité.

Cette part de voix s'exprime donc, par le rapport (ratio) suivant :

Dépenses publicitaires de l'entreprise A / Dépenses publicitaires de l'ensemble des entreprises du secteur d'activité

 

 

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